Um comerciante vende seus produtos em duas parcelas mensais ...
Um comerciante vende seus produtos em duas parcelas mensais e iguais, sendo a primeira com vencimento em 30 dias após a compra. Os clientes se recusam a pagar à vista sem desconto.
Se para o comerciante o dinheiro rende 25% ao mês, o máximo de desconto que pode ser oferecido, de modo a tornar financeiramente indiferente para ele a alternativa escolhida pelos clientes é, aproximadamente:
Produto à vista = R$100,00 Produto à prazo = 156,25 ao fim do 2º mês
Ao fim do 1º mês = R$125,00 1º parcela (30 dias após compra) = 125,00
Ao fim do 2º mês = R$ 156,25 2º parcela (60 dias após compra) = 156,25
Logo houve um acréscimo de 56,25% no fim do 2º mês,
para que fosse insignificante ao comerciante a parcela deveria ser de 28,125% ao mês
Aproximadamente 28% am
Minha solução ficou um pouco distinta do Mario mas acho que cumpre a missão.
Imagine que o comerciante, grosseiramente, pegue o valor de produto, a exemplo R$100,00 pra simplificar, e dívida em 2 parcelas.
Teremos então 100 à vista ou 2x de 50 cada. Se usarmos a fórmula da anuidade a valores presentes, A=R [(1+i)^°-1]/i(1+i)^°, onde R é a parcela de 50, i a taxa de juros de 25% e esse pequeno ° representa n (períodos), chegaremos a um valor à vista de R$72,00 .
A diferença entre esses 2 valores à vista, 100 e 72, é 28, que em porcentagem do valor "inteiro" 100, dá 28%.
Podemos entender que o comerciante só estará disposto a dar desconto até o limite da anuidade em seu valor presente, que é 72.
Eu fiz essa prova e achei a questão muito incomum para os padrões de concursos. Na hora não consegui resolver. Além do que envolvia muitos cálculos usando essa minha forma de resolução, mas naquele momento foi a única em que consegui pensar.
Encontrei ainda outra solução no siteVejam:
Venda a prazo = pagas em 0+2, de R$ 50,00 cada, ou seja, 1ª parcela paga em 30 e a outra em 60.
Entendi assim: se o preço do produto for 100, os clientes podem pagar à vista ou em 2 parcelas de 50, mas os clientes não pagam à vista sem desconto. Como o comerciante consegue um rendimento de 25%am, basta trazer a valor presente (VP) as duas parcelas de 50 com a taxa de desconto de 25%am. O preço de 100 menos o valor presente (VP) das 2 parcelas de 50 será o valor do desconto.
VP = 50/1,25 + 50/1,25^2 = 40 + 32 = 72.
Desconto = 100 - 72 = 28. Em porcentagem 28/100 = 28%.
Beleza. Entendo claramente a solução do problema, mas acho q a questão pecou em uma coisa: não falou se são juros simples ou compostos. Entendo que o mais correto é calcular por juros compostos, mas na maioria das provas quando não especifica por qual calcular devemos ir por juros simples (até para poupar tempo - recurso escasso entre nós nas provas)
Juros simples a resposta --> 0,26666 --> + próximo - 27% de desconto - LETRA C
Juros compostos a resposta --> 0,28 --> resposta - 28% de desconto - LETRA D
Questão mandada do inferno
Considerando o valor inicial do produto = X
Se ele foi parcelado em duas vezes, então X = 2.P (P é a prestação)
O valor a vista seria o nosso valor presente (PV)
Assim buscamos o desconto, então PV = X.(1 - d) .... Sendo "d" o desconto em casas decimais
---------------------------------------------------------
Sabendo que PV = ( P / 1,25) + ( P / 1,25^2 )
invertendo os termos da equação a fim de isolar "P", teremos P = ( PV . 1,25^2 ) / 2,25
----------------------------------------------------------
se: X = 2.P
então: X = 2.( PV . 1,25^2 ) / 2,25
----------------------------------------------------------
se: PV = X.(1 - d)
então: X = 2.{ [X.(1 - d)] . 1,25^2 } / 2,25
----------------------------------------------------------
na resolução o "x" será eliminado e encontrará
d = 0,28
João Carlos o seu raciocínio foi MORTAL...SENSACIONAL.
Pessoalmente, acredito haver um erro de conceito. Essa descapitalização que foi feita {p/(1+r) + p/(1+r)(1+r)} serve para se econtrar o VALOR PRESENTE da venda. Esse parcelamento é uma AMORTIZAÇÃO de RENDA IMEDIATA. Assim, o que a gente acha é o valor da mercadoria se fosse paga no ato da compra. Mas não é isso que a questão quer: "os clientes se recusam a pagar à vista sem desconto (...)". Pagar à vista é pagar no ato.
A questão solicita o preço no momento da compra (valor presente) menos o desconto (o verdadeiro). O que vocês estão calculando é o percentual dos juros descapitalizados em relação ao montante dos dois pagamentos (2p). Isso não é o desconto na lógica da própria questão, até porque 2p é um valor futuro: a soma de 2 pagamentos futuros p cada.
O desconto seria um x tal que o valor no ato da compra seria VP-x, sendo x o valor absoluto. O percentual de x seria em relação ao VP: x/VP. Logo, o lance seria achar VP-x que seria equivalente a vender a mercadoria em 2 parcelas sucessivos e iguais a uma taxa de 25% a.m de capitalização em sua formação. No entanto, isso é impossível porque o valor com desconto no ato da compra capitalizado em 2 meses necessitaria de uma taxa maior que 25%. O valor presente seria o único que satifaz a capitalização nos 25% de taxa.
Por tudo exposto, a resposta seria 0 desconto.
Preço inicial do Produto sem desconto = X
Preço inicial do Produto com desconto = Y
O vendedor tem duas opções. Ou ele vende o produto por X, dividindo-o em dois meses (sem juros), o que daria duas parcelas de X/2. Ou vende por um preço à vista com desconto, Y. Se ele vender à vista, poderá aplicar esse dinheiro no banco, que renderá 25% ao mês e, como são dois meses, no final terá o montante de M = Y(1,25)²
Porém, se ele vender parcelado, receberá a primeira parcela após 30 dias (e já depositará este valor no banco) e a outra parcela após mais 30 dias. Ou seja, ao final de 2 meses, terá as duas parcelas (X/2 cada) mais os juros da primeira parcela (25%X).
Como é indiferente o método usado, temos que ao final de dois meses,
Y(1,25)² = X/2 + X/2 + (25% X/2) -- > Y = 72%X
Se o preço à vista é 72% do preço sem desconto, então foi dado um desconto de 28%
alternativa D
Ricardo Melo, excelente explicação. Muito obrigado!
Fiz de um jeito simples:
Situação 1: Se ele receber em duas parcelas iguais e sem juros ficaria assim, por exemplo:
A: 30 dias = recebe 100 e 60 dias= recebe mais 100
Se ele tiver trouxer isto a valor presente, temos para o primeiro 100 reais de 30 dias::
=100/1,25= 80 reais (C/(1+i), sendo i=25%
e para a segunda parcela de 100 reais:
=100/1,5625 = 64 reais (C/(1+i)^n, sendo i=25% e n=2 (meses)
Porém a parcela 1 ele já havia recebido há um mês atrás, então gera mais 25 reais de juros no mês 2 (100*25%).
Devemos então trazer este valor de 25 reais a valor presente: 25/(1,5625), sendo (1+ i)^2 ou seja, resulta em 16 reais. Somando os 3 elementos a VP tempos:
80 parcela 1 mês 1
64 parcela 2 mês 2
16 parcela juros 1 mês 2
--------------------
156 reais
Ora, se tenho 200 hoje em mãos e o VP das duas parcelas é 156, então o valor mínimo taxa juros deveria ser de =200/156-1= 28%, para ficar igual
LETRA D
X = 100/1 + 0,25 + 100/(1 + 0,25)^2
X = 100/1,25 + 100/1,56
X = 100/1,25 + 100/1,56
X = 80 + 64,10
X = 144,10
Logo, o valor à vista do produto é igual a R$ 144,00. Como o valor do produto a prazo é igual a 200 (100 + 100), então o valor à vista é 72% (144/200) do valor a prazo, assim o máximo de desconto que pode ser oferecido, de modo a tornar financeiramente indiferente para ele a alternativa escolhida pelos clientes é, aproximadamente desconto de 28% (100% - 72%).
Gabarito: Letra "D".